排列组合：顺序里的数学秘密
换一件上衣、换一条裤子，明天就是一套新穿搭——可你有没有认真数过，2 件上衣和 3 条裤子到底能变出几种？如果换成 3 个好朋友排队照相、4 个同学里选 2 人去搬书，答案又为什么不一样？这一讲，我们一起来当一回「数数侦探」，把藏在顺序里的数学秘密找出来。
从穿衣搭配说起：乘法原理
先看一个每天都遇到的小问题。小美有 2 件上衣（红、蓝）和 3 条下装（黑裤、白裤、灰裤），她想数清楚一共能穿出多少种搭配。
如果一件一件试，很容易数漏。更稳的办法是画一张树状图（tree diagram）：先在上衣里选一件，再在下装里选一件。
从图上可以一眼看出：每一件上衣都能和 3 条下装搭配。2 件上衣 × 3 条下装 = 6 种搭配。
这里藏着一条重要的计数规律：完成一件事要分两步，第 1 步有 种方法、第 2 步有 种方法，那么一共有 种方法。这就是乘法原理（multiplication principle，也叫分步计数原理）。
完成一件事要依次做 个步骤，每一步分别有 种选择，那么总方法数是 。
想一想：三位密码锁
密码锁有 3 个转轮，每个转轮都能拨到 0–9 共 10 个数字。第一位有 10 种、第二位有 10 种、第三位有 10 种，依次决定，所以一共有 种密码。这也是乘法原理：分 3 步，每步 10 种。
动手数一数：搭配有多少种
动手试一试：先点一件上衣，再点一条下装，看看一共能凑出多少种搭配。试着把 6 种全都找出来，一个也别漏。
数搭配的窍门是按顺序枚举：先固定第 1 件上衣，把 3 条下装都试一遍；再换第 2 件上衣，再把 3 条下装试一遍。
排列：排队照相有多少种站法
3 个好朋友小华、小丽、小刚排队照相。谁站第 1 位、第 2 位、第 3 位，照片都会不一样。像这样顺序不同就算不同结果的计数问题，叫排列（permutation）。
排队时一步一步想：第 1 位有 3 种选法；第 1 位定下后，第 2 位只剩 2 种选法；前两位都定下后，第 3 位只剩 1 种。所以一共有 种站法。
图上 6 个分支终点，正好是 6 种排列。 可以简写成 ，读作「3 的阶乘」（factorial）。一般地，从 个不同的东西里取出 个、按顺序排成一列，方法数是：
从 个不同元素中取出 个，按顺序排成一列。顺序不同就是不同的排列。当 时叫全排列，方法数是 。
试一试：4 个小朋友排队照相，一共有几种排法？
第 1 位有 4 种、第 2 位有 3 种、第 3 位有 2 种、第 4 位有 1 种，一共 种。
排列演示：调换顺序就是新排列
3 个不同颜色的小球排成一排，一共有 6 种排法。点按钮逐个查看，注意调换任意两个球的位置，就会变成一种新的排列。
排列的关键是位置：同样 3 个球，谁在左、谁在中、谁在右不同，结果就不同。
组合：选人为什么不用管顺序
换一个问题：4 名同学 A、B、C、D 中选 2 人去搬书。选 A 和 B，还是选 B 和 A，其实是同一组人。像这样顺序不同仍算同一种的计数问题，叫组合（combination）。
如果先按排列来算：第 1 人有 4 种选法、第 2 人有 3 种选法，得到 。但这 12 种里，每一组都多算了一次——AB 和 BA 是同一组。所以组合数是 种。
上图中 4 个点代表 4 名同学，每一条连线代表一种 2 人组合，共 6 条线，正好是 。一般地，从 个不同元素中取出 个（不看顺序），组合数是：
从 个不同元素中取出 个，不看顺序。同一些元素无论怎么换位置都算同一种组合。组合数比排列数少，因为要除以这 个元素的排列数 。
想一想：握手问题
5 个人见面，每两个人握一次手，一共握几次？把「握一次手」看成从 5 人中选 2 人的组合： 次。A 与 B 握手、B 与 A 握手是同一次，所以要除以 2。
组合演示：集齐所有 2 人组合
从 4 个颜色小球里任意选 2 个，顺序无关。把所有不同的组合都找出来吧！
注意：先选红再选黄，和先选黄再选红，是同一种组合。组合只看选了谁，不看选的先后。
判断排列还是组合，加法原理也来帮忙
判断一道题是排列还是组合，只需要问一句：把顺序调换一下，结果变不变？
- 排队照相：调换两个人，照片就变了 → 排列。
- 选人搬书：调换两个人，还是同一组 → 组合。
有些问题还要分类相加。比如上学可以坐公交（3 条线路）或地铁（2 条线路），两类办法都能到校、互不重叠，于是一共有 种走法。这就是加法原理（addition principle，分类计数原理）。
如果一件事可以分成几类互不重叠的办法，第 1 类有 种、第 2 类有 种……那么总方法数是 。
乘法原理和加法原理经常配合使用。例如从 3 名男生、2 名女生中各选 1 人组成一队：选男生有 3 种、选女生有 2 种，两步相乘，共 种。
练一练
每件上衣都能配 3 条裤子，2 × 3 = 6 种。
第 1 位 3 种、第 2 位 2 种、第 3 位 1 种，3 × 2 × 1 = 6 种。
4 × 3 = 12 是排列数；AB 和 BA 是同一组，要除以 2，得 6 种。
选人只看选了谁、不看顺序，所以是同一组，说法正确。
小结：四种数数方法
这一讲我们学会了四种「数数」方法：
- 乘法原理：分步完成，各步方法数相乘。
- 加法原理：分类完成，各类方法数相加。
- 排列：取出来还要排顺序，。
- 组合：只取出来、不管顺序，。
判断的关键永远是一句话：顺序改变后，结果变不变？
顺序变了结果就变 → 用排列；顺序变了结果不变 → 用组合；分步完成 → 相乘；分类完成 → 相加。