直线方程：用 y = mx + c 描述直线
假如你在方格纸上随手画一条直线，你能用一个“密码”把它完全描述出来吗？答案是：能！这个密码就是 y = mx + c。学会它，你就掌握了用方程给直线“起名字”的超能力——从滑雪道的坡度到屋顶的斜度，处处都有它的影子。
坐标系：给点安个家
在讨论直线之前，我们先要知道怎样描述一个点的位置。数学家用平面直角坐标系来做这件事：两条互相垂直的数轴，横的叫 x 轴，竖的叫 y 轴，交点是原点 O。
任意一点都可以用一对有序数 表示：第一个数是沿 x 轴走多远（向右为正），第二个数是沿 y 轴走多远（向上为正）。先读 x，再读 y——就像报座位“第 3 排第 2 号”。
第一个数 是横坐标（沿 x 轴），第二个数 是纵坐标（沿 y 轴）。顺序不能颠倒： 和 是两个不同的点。
斜率：直线有多陡？
想象两条滑梯：一条又缓又平，一条又陡又快。我们怎样用数字描述“陡”的程度？答案是斜率（gradient），记作 。
从直线上任取两点 和 ，斜率就是竖直方向的变化量除以水平方向的变化量：
也可以理解为：每向右走 1 格，直线向上（或向下）走 格。 时直线向上倾斜； 时向下倾斜； 时是水平线。
试着拖动上面的两个点，观察斜率如何变化。特别注意：交换两个点的位置，斜率不变；把两个点放在同一条竖直线上会怎样？
- ：从左到右上升
- ：从左到右下降
- ：水平线
- 竖直线没有斜率（分母为 0）
截距：直线从哪里穿过 y 轴
每条不竖直的直线都会与 y 轴相交一次。这个交点的纵坐标就是 y 轴截距（y-intercept），记作 。
例如直线经过点 ，那么它的截距就是 。截距告诉我们直线“起步”的高度：当 时， 的值就是 。
为什么叫“截距”？
因为直线把 y 轴“截”下一段——从原点到交点的那段距离（带正负号）。如果交点在原点下方，截距就是负数，比如 。
直线方程 y = mx + c
有了斜率和截距，我们就能写出整条直线的“密码”。一条直线的斜率截距式方程是：
其中 是斜率， 是 y 轴截距。这个方程的意思是：直线上任意一点的纵坐标 y，都等于“斜率乘横坐标再加截距”。
例如 ：斜率是 2，截距是 1。每向右走 1 格就向上走 2 格，并且从 出发。
拖动滑块改变 和 ，看看直线如何变化： 改变坡度， 让整条线上下平移。
为什么 y = mx + c 一定是一条直线？
任取 ，算出 ，得到点 。当 每次增加 1， 总是增加 ——上升量永远相等，所以点永远排成一条直线。这就是“直线方程”名字的由来。
画直线：两点就够
直线由无数个点组成，但画图时我们只需要两个点（两点确定一条直线）。常用方法是：
- 先找截距点 。
- 再用斜率找第二个点：从截距点向右走 1 格，向上（或向下）走 格。
- 连接两点并延长。
例题：画 。截距是 3，先标出 ；斜率是 ，所以向右 1 格、向下 2 格，得到 。连接两点即可。
小试：画 。先想：截距是多少？斜率是多少？第二个点在哪？
截距 ，所以经过 。斜率 表示向右 2 格、向上 1 格，得到 。连接 和 并延长。
由两点求方程
反过来，如果只知道直线上两个点，怎样写出方程？分两步：先求斜率 ，再求截距 。
第一步：求斜率。 用公式 。
第二步：求截距。 把 和其中一个点的坐标代入 ，解出 。例如两点 和 ：
练习：求经过 和 的直线方程。
斜率 。代入 ：，得 。所以方程是 。
平行线：相同的坡度
两条直线如果永远不会相交，就称它们平行。什么时候会这样？当它们的斜率相同，但截距不同。
例如 与 ：坡度都是 2，一个从 出发，一个从 出发，两条线始终保持相同的距离。
玩一玩上面的“目标射击”：保持 不变、只改 ，你会发现直线整条平移——得到的就是一组平行线。
斜率相等 的两条直线平行。若截距也相等（），它们其实是同一条直线。
练习挑战
在 中， 前面的系数就是斜率 ；常数项 是截距。
y 轴截距是 4，即当 时 ，交点是 。
截距 （因为过 ），斜率 ，代入 。
平行线斜率相等。 的斜率也是 2。
斜率 ，截距 （过原点），所以 。
本课总结
- 点用有序数对 表示。
- 斜率 描述直线的坡度。
- 截距 是直线与 y 轴交点的纵坐标。
- 直线方程：。
- 平行线：斜率相同。
接下来你可以尝试：给方格纸上随手画的直线“算密码”，或者挑战下面的思考题。记住：m 定坡度，c 定起点。