直线方程：用两个数描述一条直线
想象你正推着自行车爬一条山坡。坡有多陡、从多高的地方开始——只要两个数就能说清楚。数学家用同样的想法，把任何一条直线都浓缩成一个简洁的方程。
1. 坐标平面上的点与直线
我们先在坐标平面上认识位置。每个点都写成一个数对 ： 表示沿水平方向（x 轴）移动的距离， 表示沿竖直方向（y 轴）移动的距离。
一条直线就是满足某个规则的所有点连起来的轨迹。例如规则 ： 是几， 就是几。点 、、 都满足，把它们连起来就是一条从左下到右上的直线。
直线方程就是这条规则——它告诉我们，这条线上的点必须满足什么条件。接下来我们看两个关键数字：坡度和截距。
2. 坡度：一条线有多斜
生活中我们说一条路很陡或很缓。数学用一个数精确描述倾斜程度，叫坡度（也叫斜率），记为 。
坡度等于竖直方向的变化除以水平方向的变化。用直线上两个点 和 表示：
看上面的图：从 A 到 B，水平走了 4 格，竖直升了 6 格，坡度 。坡度越大，直线越陡。
如果直线从左下往右上走，坡度是正数；从左上往右下走，坡度是负数；完全水平时坡度是 0。
坡度 = 竖直变化 ÷ 水平变化，即 。它只由直线上任意两点决定，选哪两个点结果都一样；计算时保持相减方向一致即可。
3. 截距：直线从哪里穿过 y 轴
每条非竖直的直线都会在某处穿过竖直的 y 轴。穿过 y 轴意味着 ，所以直线在 时的 值就叫 y 轴截距，记为 。
例如直线经过点 ，它的截距就是 。截距告诉我们整条线相对原点是高是低： 越大，直线整体越靠上。
所以 是直线与 y 轴交点的纵坐标。注意：竖直的线（比如 ）没有 y 轴截距，也不能写成 的形式。
= 直线与 y 轴交点的 值，也就是把 代入方程得到的 。
4. 斜截式：y = mx + c
把坡度和截距合起来，就得到最常用的直线方程形式——斜截式：
其中 是坡度， 是 y 轴截距。给一个 ，代入右边就能算出对应的 。例如 ：当 时，，所以点 在这条线上。
下面动手试试：拖动滑块改变 和 ，观察直线如何变化。
5. 从图像读出方程
反过来，给你一条画好的直线，怎么写出它的方程？分两步：① 看它与 y 轴的交点读出 ；② 找两个好读的点算坡度 。
例如一条直线过 和 ：截距 ，坡度 ，所以方程是 。
来玩一个匹配游戏：上方有一条目标直线（虚线），你调整自己的直线去和它重合，重合得越好得分越高。
6. 从两点求直线方程
有时候我们只知道直线经过的两个点，比如 和 。先算坡度：
然后把 代入 ，再用其中一个点求 。把 代入：，所以 ，方程是 。
拖动下面的两个点，观察直线、坡度三角形和方程如何同步变化。
为什么用哪个点代入都一样？
因为两个点都在同一条直线上，都满足同一个方程。用 A 或 B 求出的 一定相同；如果你得到两个不同的 ，多半是坡度算错了。
7. 画一条直线：两步法
知道方程 后，画图只需两步：第一步，在 y 轴上标出截距点 ；第二步，用坡度再找一个点——从截距点向右走 1 格、向上走 格（ 为负就向下走）。
例如画 ：先标 ；坡度是 3，所以向右 1、向上 3，得到 。用直尺把两点连起来即可。
先标截距 ，再用坡度找第二点：向右 1、向上 （ 为负则向下）。两点连成直线。
8. 生活中的直线方程
直线方程不只是课本上的东西。出租车计费、手机套餐、工资增长，很多都是固定起步价加按量收费，这正是 的样子。
例如某出租车：起步价 5 元，之后每公里 2 元。行驶 公里，费用 。截距 5 是起步价，坡度 2 是每公里的价钱。
下面的演示展示一组真实情境的数据（里程与车费），看看点如何大致落在一条直线上。
斜率在生活中还能表示什么？
速度：距离-时间图的斜率是速度；单价：总价-数量图的斜率是单价；增长率：比如每周存钱的增长。 通常是起步价或初始值。
9. 小结与自测
我们学到了直线的两个关键数字：坡度 和截距 ，合起来就是 。来做几道自测题吧。
斜截式：。 管倾斜（正=上升，负=下降，0=水平）， 管位置（与 y 轴的交点）。
在 中， 前面的系数就是坡度，所以 。
y 轴截距是常数项 5，所以交点是 。
截距 ，坡度 ，所以是 。
。
想一想：坡度是 0 的直线长什么样？
它是一条水平线，方程形如 （比如 ）：无论 是多少， 都不变。
常见错误提醒
① 把 当成与 x 轴的交点——不对， 是与 y 轴的交点；② 坡度算反：永远是竖直 ÷ 水平；③ 忽略负号：从左上到右下的线坡度是负数。